haraduka's diary

やる気が欲しい

線形代数で忘れがちなこと

雑多

線形代数すっかり忘れてて、大事なことだけ自分ようにメモ。

  • {{}^{t}AB = {}^{t}B{}^{t}A}
  • {Tr(AB) = Tr(BA)}
  • 行列の基本変形には3つあって、i行とj行を交換、i行目をc倍、i行目にj行目のc倍を加算、がある。左基本変形では行に関して、右基本変形では列に関して。これらの組み合わせで(p, q)をかなめとして吐き出す操作が可能。また、これらの操作をする行列はすべて正則であり、rankなども保存される。
  • 一次方程式では拡大係数行列を作り {\bar{A}x = 0}の形にする。左基本変形と最後の列以外の列の交換を行うことによって形を作る。
  • 方程式が解をもつためには、係数行列の階数と拡大係数行列の階数が一致することが必要十分条件である。
  • {Ax=c}のcを0にして {Ax=0}にしたものを斉次一次方程式といい、これは、n-r(Aのrank)個の非自明な解を持つ。
  • 複素ベクトルの内積をエルミート積という。
  • {{}^{t}\bar{A}}をAの随伴行列といい、 {A^{*}}で表す。
  • {A^{*} = A}のとき、Aをエルミート行列といい、特に実数の場合を実対称行列という。
  • {A^{*}A = E}のとき、Aをユニタリ行列といい、特に実数の場合を直行行列という。
  • ユニタリ行列であることと、 {||Ax|| = ||x||}であること、 {(Ax, Ay) = (x, y)}であること、Aの列ベクトル {a_{1}, a_{2}, \ldots, a_{n}}に関して {(a_{i}, a_{j}) = \delta_{ij}}であることは同値である。
  • n個の元からなる集合、たとえば{1,2…,n}の一対一変換をn文字の置換という。また、n文字の置換で二つの文字を置換し、他は動かさないものを互換という。
  • 任意の置換は互換の積として表され、互換の数が偶数か奇数であるかははじめに与えた置換で決まる。
  • {sgn\sigma}は {\sigma}が偶置換のときプラス, 奇置換のときマイナス
  • {n^{2}}個の変数 {x_{ij}}の多項式 {\Sigma_{\sigma\in S_{n}}sgn\sigma \cdot x_{1\sigma(1)}x_{2\sigma(2)}\cdots x_{n\sigma(n)}}をn次の行列式という。
  • 転置行列の行列式は、もとの行列式と等しい。
  • 行列式にはn重線形性と交代性があり、これが行列式を特徴づける。また逆に、n個のn項列ベクトルの組に対してある数を対応させる写像Fがn重線形性と交代性を持つならば、Fは定数倍を除いて写像detに一致する。
  • n重線形性とは、detにおいてある列がx+yだとしたとき、そのx, yを分けてdetに入れて足しても同じという性質 + ある列にcをかけてdetをとった数とcを独立してかけた数は同じという性質のこと。
  • 交代性とは、行列Aの列番号に置換τを施して得られた行列の行列式はsgnτ * |A|に等しいという性質。
  • 上の二つの性質は行と列に関してそれぞれ成り立つ。
  • n次正方行列Aの第i行目、第j列目を除いてできるn-1次行列式をAの(i,j)小行列式といい、それに {(-1)_{i+j}}をかけたものをAの(i,j)余因子といい、 {\tilde{a}_{ij}}と表す。
  • {\tilde{a}_{ji}}を(i, j)成分とするn次行列をAの余因子行列といい、 {\tilde{A}}と表す。
  • {\tilde{A}A = A\tilde{A} = |A|\cdot E_{n}}となる。これは逆行列の式にもなっており、また、ここからクラメルの公式が導ける。
  • {P^{-1}AP=B}となる正則行列Pが存在するとき」、AとBは相似であるという。これは同値関係ともいい、反射律、対称律、推移律が成り立つ。互いに同値なものの集合を類という。
  • TをV->V'の線型写像といい、V->Vの線型変換という。また、VからV'への線型写像が一対一のとき、同型写像という。
  • {c_{1}a_{1}+c_{2}a_{1}+\cdots +c_{n}a_{n} = 0}を線型関係といい、自明でない線型関係が成立するとき、線型従属であるという。その逆が線型独立である。
  • Vに有限個のベクトルが存在して、Vの任意のベクトルがこれら有限個のベクトルの線型結合として表されるとき、Vは有限次元であるという。
  • Vの有限個のベクトルが線型独立かつVの任意のベクトルをそれらの線型結合として表せるとき、これらを基底という。
  • Vの基底の含むベクトルの数nを線型空間の次元といい、dim Vで表す。
  • Vがn個のベクトルからなる基底を持つならば、n個より多くのベクトルは線型従属である。
  • Vの部分集合Wが同じ演算に関してK上の線形空間になるとき、WをVの線型部分集合という。
  • {W_{1}, W_{2}}がVの部分空間であるとき、 {{x_{1}+x_{2}|x_{1}\in W_{1}, x_{2}\in W_{2}}}を {W_{1}, W_{2}}の和集合であるという。これは+で表し、共通集合から生成される部分空間に他ならない。
  • {dimV=dimT^{-1}(o') + dimT(v)}
  • (m, n)型行列Aの階数を与える同値な条件は、Aを基本変形で標準形に変形したときに対角線上に並ぶ1の数、Aの0でない小行列式の最大次数、Aによって定まる {K^{n}}から {K^{m}}への線型写像 {T_{A}}の像空間の次元、Aの線型独立な列ベクトルの最大数、Aの線型独立な行ベクトルの最大数、の5つである。
  • 計量線型空間において、実数のときこれをユークリッド空間、複素数のときこれをユニタリ空間という。
  • 計量空間Vのk個のベクトルがたがいに直交し、それぞれの長さが1に等しいとき、それらを正規直交系といい、それらがVの基底であるとき、正規直交基底という。そしてこれを作成する手続きをシュミットの直交化法という。
  • 計量同型写像はユニタリ変換によってなされる。